จำนวนจริง

จำนวนจริง

     จำนวนจริง คือ เซตของจำนวนที่เกิดจากการนำเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะสมบัติของจำนวนจริง
 สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ     1. สมบัติการสะท้อน a = a
     2. สมบัติการสมมาตร ถ้า a = b แล้ว b = a
     3. สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c      4. สมบัติการบวกด้วยจำนวนที่เท่ากัน  ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c      5. สมบัติการคูณด้วยจำนวนที่เท่ากัน ถ้า a = b แล้ว ac = bc       • สมบัติการบวกในระบบจำนวนจริง
     กำหนด a, b, c เป็นจำนวนจริงใดๆ     1. สมบัติปิดการบวก a + b เป็นจำนวนจริง    2. สมบัติการสลับที่ของการบวก a + b = b + c
    3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มการบวก a + ( b + c) = ( a + b ) + c
    4. เอกลักษณ์การบวก 0 + a = a = a + 0      นั่นคือ ในระบบจำนวนจริงจะมี 0 เป็นเอกลักษณ์การบวก    5. อินเวอร์สการบวก a + ( -a ) = 0 = ( -a ) + a
  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวน a จะมี -a เป็นอินเวอร์สของการบวก • สมบัติการคูณในระบบจำนวนจริง

      กำหนดให้ a, b, c, เป็นจำนวนจริงใดๆ

       1. สมบัติปิดการคูณ ab เป็นจำนวนจริง

       2. สมบัติการสลับที่ของการคูณ ab = ba
 3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการคูณ a(bc) = (ab)c
 4. เอกลักษณ์การคูณ 1 · a = a = a · 1  นั่นคือในระบบจำนวนจริง มี 1 เป็นเอกลักษณ์การคูณ 5. อินเวอร์สการคูณ a · a-1 = 1 = a · a-1, a ≠ 0  นั่นคือ ในระบบจำนวนจริง จำนวนจริง a จะมี  a-1 เป็นอินเวอร์สการคูณ ยกเว้น 0 6. สมบัติการแจกแจง   a( b + c ) = ab + ac
 ( b + c )a = ba + ca

จำนวนจริงชนิดต่าง ๆ

1.           จำนวนนับ เป็นจำนวนชนิดแรกที่มนุษย์คิดขึ้นเพื่อใช้นับจำนวนสัตว์เลี้ยง

เซตของจำนวนนับเขียนได้ดังนี้  N = { 1 , 2 , 3 , 4 , … }

2.           จำนวนเต็ม  เมื่อสังคมของมนุษย์เจริญมากขึ้น จนวนนับก็ไม่เพียงพอแก่การนำไปใช้ จึงได้มรการคิดจำนวนชนิดใหม่ขึ้นโดยการนำจำนวนนับ 2 จำนวนมาลบกัน ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่า “จำนวนเต็ม” ซึ่งแบ่งเป็น 3 อย่างคือ

1)     จำนวนเต็มบวก เกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่ามากกว่าตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มบวกแทนด้วย       I⁺ = { 1 , 2 , 3 , … }

2)     จำนวนเต็มศูนย์ เกิดจากการลบที่ตัวตั้งเท่ากับตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มศูนย์ = { 0 } มีสมาชิกตัวเดียว

3)     จำนวนเต็มลบเกิดจากการลบที่ตัวตั้งมีค่าน้อยกว่าตัวลบ
เซตของจำนวนเต็มลบแทนด้วย I^- = { -1 , -2 , -3 , … }

Note .::. จำนวนเต็ม = I = { … , -3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , … }

3.   จำนวนตรรกยะ  เกิดจากการนำจำนวนเต็ม 2 จำนวนมาหารกัน โดยที่ตัวหารไม่เท่ากับ 0 อาจกล่าวได้ว่าจำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนได้
เซตของจำนวนตรรกยะ

1)     จำนวนตรรกยะมีทั้งที่เป็นบวก  เป็นศูนย์ และเป็นลบ

2)     จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นเป็นจำนวนตรรกยะด้วย  เพราะเขียนในรูปเศษส่วนได้  เช่น

            3)     จำนวนที่เป็นทศนิยมรู้จบ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบซ้ำทุกจำนวนเป็นจำนวนตรกกยะ เพราะแปลงเป็นเศษส่วนได้  เช่น

4.          จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่เขียนในรูปเศษส่วนไม่ได้ ซึ่งได้แก่จำนวนที่ติดรากแต่ถอดรากไม่ได้ กับจำนวนที่เป็นทศนิยมไม่รู้จบแบบไม่ซ้ำ เช่น

5.       จำนวนจริง คือ เซตของจำนวนที่เกิดจากการนำเซตของจำนวนตรรกยะยูเนียนกับเซตของจำนวนอตรรกยะ
เขียนแทนด้วยเซต