สมบัติการบวกและการคูณ

เรื่อง สมบัติการบวกและการคูณ

สมบัติการบวก

1. สมบัติปิด

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a + b เป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 1    2 + 3 = 5   เป็นจำนวนเต็มบวก

  9 + 6 = 15   เป็นจำนวนเต็มบวก

2. สมบัติการสลับที่

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a + b = b + a

ตัวอย่างที่ 2       4 + 6   =   6 + 4   =   10

                        12 + 11 =  11 + 12 = 23

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้

ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว a + ( b + c ) = ( a + b) + c

ตัวอย่างที่ 3      4+ ( 5 + 2 )  =  ( 4 + 5 ) + 2  =  11

สมบัติการคูณ

1. สมบัติปิด

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a x b เป็นจำนวนเต็มบวก

ตัวอย่างที่ 4     3 x 7  =  21   เป็นจำนวนเต็มบวก

2. สมบัติการสลับที่

ถ้า a และ b เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ แล้ว a x b = b x a

ตัวอย่างที่ 5   4 x 8   =   8 x 4   =   32

  25 x 10 = 10 x 25 = 250

3. สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มได้

ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว a x ( b x c ) = ( a x b) x c

ตัวอย่างที่ 6     8x ( 6 x 4 )   =   8 x 24   =  192

    ( 8 x 6 ) x 4 =  48 x 4   =  192

4. สมบัติการแจกแจง

ถ้า a , b และ c เป็นจำนวนใด ๆ แล้ว

a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c )

( b + c ) x a = ( b x a ) + ( b x c )

  ตัวอย่างที่ 7    3x (5+6)   =  (3 x 5 ) + ( 3 x 6 )  =  33

  ( 4 + 9 ) x 5 = ( 4 x 5 ) + ( 9 x 5 ) = 20 + 45  =  65

สรุป

สมบัติการบวก จะมี สมบัติปิด , สมบัติการสลับที่ และสมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม

สมบัติการคูณ จะมี สมบัติปิด , สมบัติการสลับที่ , สมบัติการเปลี่ยนกลุ่มและ สมบัติการ แจกแจง

จำนวนเฉพาะ

จำนวนเฉพาะ

  เลขจำนวนใด ๆ ที่เป็นจำนวนเต็มที่มีค่ามากกว่า 1 สามารถแยกตัวประกอบออกมาได้เป็นผลคูณของตัวเลขจำนวนเฉพาะเสมอ

        ในคณิตศาสตร์ จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวกอยู่ 2 ตัว คือ 1 และตัวมันเอง. จำนวนประกอบ คือ จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารที่เป็นบวก นอกเหนือจาก 1 และตัวมันเอง

ลำดับของจำนวนเฉพาะเริ่มต้นด้วย

        2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113...

สมบัติบางประการของจำนวนเฉพาะ

• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ p หาร ab ลงตัวแล้ว p หาร a ลงตัว หรือ p หาร b ลงตัว ประพจน์นี้พิสูจน์โดยยุคลิด และมีชื่อเรียกว่า บทตั้งของยุคลิด ใช้ในการพิสูจน์เรื่องการแยกตัวประกอบได้อย่างเดียว
• ริง (ดูที่เลขคณิตมอดุลาร์) Z/nZ เป็นฟิลด์ ก็ต่อเมื่อ n เป็นจำนวนเฉพาะ
• ถ้า p เป็นจำนวนเฉพาะ และ a เป็นจำนวนเต็มใดๆแล้ว ap − a หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทน้อยของแฟร์มาต์)
• จำนวนเต็ม p > 1 เป็นจำนวนเฉพาะ ก็ต่อเมื่อ (p − 1)! + 1 หารด้วย p ลงตัว (ทฤษฎีบทของวิลสัน). บทกลับ, จำนวนเต็ม n > 4 เป็นจำนวนประกอบ ก็ต่อเมื่อ (n − 1)! หารด้วย n ลงตัว
• ถ้า n เป็นจำนวนเต็มบวกแล้ว จะมีจำนวนเฉพาะ p ที่ n < p < 2n (สัจพจน์ของเบอร์แทรนด์)
• สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 2 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 4n ± 1
• สำหรับจำนวนเฉพาะ p > 3 จะมีจำนวนธรรมชาติ n ที่ทำให้ p = 6n ± 1

.................จบแล้วคร้า...........

จำนวนนับ

จำนวนนับ

จำนวนนับ    ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … จำนวนนับ อาจเรียกว่า “จำนวนเต็มบวก” หรือ “จำนวนธรรมชาติ”

ตัวประกอบ
คือ จำนวนเต็มน้อย ๆ ที่ไปหารตัวนั้นลงตัว เช่น
เลข 4 เป็นตัวประกอบของเลข 8 เพราะว่าเลข 4 สามารถหารเลข 8 ได้ลงตัว
เลข 10 เป็นตัวประกอบของเลข 100 เพราะว่าเลข 10 สามารถหารเลข 100 ได้ลงตัว

จำนวนคู่ และ จำนวนคี่
จำนวนคู่
คือ จำนวนนับที่สามารถหารด้วย 2 ได้ลงตัวซึ่งสามารถเขียนแทนจำนวนคู่ได้เป็น 2n เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มใด ๆ ได้แก่… -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, 8, 10, …
จำนวนคี่
คือ จำนวนนับที่ไม่ใช่จำนวนคู่ หรือ จำนวนนับที่ไม่สามารถหารด้วย 2 ได้ลงตัวซึ่งสามารถเขียนแทนจำนวนคี่ได้เป็น
- 2n + 1 เมื่อ n = 0, 1, 2, 3, … หรือ
- 2n – 1 เมื่อ n = 1, 2, 3, … หรือ จำนวนนับนั่นเอง ได้แก่…, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …
ข้อควรรู้
1. คู่ + คู่ = คู่ เช่น 2 + 4 = 6
2. คี่ + คี่ = คู่ เช่น 3 + 5 = 8
3. คู่ + คี่ = คี่ เช่น 2 + 5 = 7
4. คู่ × คู่ = คู่ เช่น 8 × 10 = 80
5. คี่ × คี่ = คี่ เช่น 3 × 5 = 15

จำนวนเฉพาะ
คือ จำนวนนับที่มากกว่า 1 และมีตัวประกอบเพียง 2 ตัว คือ 1 และตัวเอง ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, … บางครั้งเรียกจำนวนเฉพาะว่า “ตัวประกอบเฉพาะ”

การหารลงตัว
- การหารด้วย 2 ลงตัว
จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็นเลข 0, 2, 4, 6 หรือ 8 จะหารด้วย 2 ลงตัว
- การหารด้วย 3 ลงตัว
จำนวนนับใดจะหารด้วย 3 ลงตัว ก็ต่อเมื่อ ผลบวกของเลขโดดทุกหลักของจำนวนนับนั้นหารด้วย 3 ลงตัวEX : 152 หารด้วย 3 ไม่ลงตัว เพราะ 1 + 5 + 2 = 8 ซึ่ง 8 หารด้วย 3 ไม่ลงตัวEX :   162 หารด้วย 3 ลงตัว เพราะ 1 + 6 + 2 = 9 ซึ่ง 9 หารด้วย 3 ลงตัว
- การหารด้วย 5 ลงตัว
จำนวนนับที่มีหลักหน่วยเป็น 0 หรือ 5 จะหารด้วย 5 ลงตัว

การแยกตัวประกอบ
คือ การคูณของตัวประกอบเฉพาะ
วิธีในการแยกตัวประกอบมี 2 วิธี คือ
1. วิธีการตั้งหารสั้นEx : จงแยกตัวประกอบของ 588
= 2 x 2 x 3 x 7 x 7
2. วิธีแยกตัวประกอบทีละ 2 ตัวEx : จงแยกตัวประกอบของ 478
= 2 x 239

ตรรกศาสตร์

ประพจน์

ประพจน์ คือ ประโยค หรือข้อความที่อยู่ในรูปแบบประโยคบอกเล่า หรือประโยคปฏิเสธ ที่เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่ง
		ตัวอย่างเช่น
		• เชียงใหม่เป็นจังหวัดทางภาคใต้	→ เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคบอกเล่าที่เป็นเท็จ
		• ใครทำจานแตก	→ ไม่เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคคำถามและบอกไม่ได้ว่าเป็นจริงหรือเท็จ
		• -1 ไม่เป็นจำนวนเต็มบวก	→ เป็นประพจน์ เพราะเป็นประโยคปฏิเสธที่มีค่าความจริงเป็นจริง
นั่นคือ ประโยคคำถาม คำสั่ง ขอร้อง คำอุทาน หรือประโยคที่ไม่สามารถระบุค่าความจริงได้ ไม่เป็นประพจน์ ตัวเชื่อมประพจน์และค่าความจริงที่มีตัวเชื่อม กำหนดให้ pและ q เป็นประพจน์ใดๆ เราสามารถเชื่อมประพจน์ทั้งสองเข้าด้วยกันได้ โดยอาศัยตัวเชื่อมประพจน์ดังต่อไปนี้ 1. ตัวเชื่อมประพจน์ "และ" การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "และ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∧ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นจริง (T) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) 2. ตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "หรือ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ∨q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) ทั้งคู่ นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) 3. ตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ถ้า...แล้ว" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p → q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p เป็นจริง (T) และ q เป็นเท็จ (F) นอกนั้นมีค่าความจริงเป็นจริง (T) 4. ตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" การเชื่อม p และ q เข้าด้วยกันด้วยตัวเชื่อมประพจน์ "ก็ต่อเมื่อ" สามารถเขียนแทนได้ด้วยสัญลักษณ์ p ⇔ q ซึ่งจะมีค่าความจริงเป็นจริง (T) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงกัน และจะมีค่าความจริงเป็นเท็จ (F) เมื่อ p และ q มีค่าความจริงตรงข้ามกัน 5. นิเสธของประพจน์ นิเสธของประพจน์ใดๆ คือ ประพจน์ที่มีค่าความจริงตรงกันข้ามกับประพจน์นั้นๆ และสามารถเขียนแทนนิเสธของ p ได้ด้วย ~p ประพจน์ที่สมมูลกัน ประพจน์ 2 ประพจน์จะสมมูลกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงเหมือนกัน ทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่สมมูลกันที่ควรทราบ มีดังนี้ p ∧ q สมมูลกับ q ∧ p p ∨ q สมมูลกับ q ∨ p (p ∧ q) ∧ r สมมูลกับ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r สมมูลกับ p ∨ (q ∨ r) p ∧ (q ∨ r) สมมูลกับ (p ∧ q) ∨ ( p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) สมมูลกับ (p ∨ q) ∧ ( p ∨ r) p → q สมมูลกับ ~p ∨ q p → q สมมูลกับ ~q → ~p p ⇔ q สมมูลกับ (p → q) ∧ (q → p) ประพจน์ที่เป็นนิเสธกัน ประพจน์ 2 ประพจน์เป็นนิเสธกัน ก็ต่อเมื่อ ประพจน์ทั้งสองมีค่าความจริงตรงข้ามกันทุกกรณีของค่าความจริงของประพจน์ย่อย ตัวอย่างประพจน์ที่เป็นนิเสธกันที่ควรทราบ มีดังนี้ ~(p ∧ q) สมมูลกับ ~p ∨ ~q ~(p ∨ q) สมมูลกับ ~p ∧ ~q ~(p → q) สมมูลกับ p ∧ ~q ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ⇔ ~q) ∨(q ⇔ ~p) ~(p ⇔ q) สมมูลกับ (p ∧ ~q) ∨ ( q ∧~p)